Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形， ， ， ， 分別為線段， 的中點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）若平面， ，求四面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由線面平行的判定定理證明得到；（2）以為底面，點(diǎn)F到的距離為高，由于F為PB 的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，算出體積。

試題解析：（1）證明：連接、， 交于點(diǎn)，

∵為線段的中點(diǎn)， ， ，∴

∴四邊形為平行四邊形，

∴為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，

∴，

又平面， 平面，

∴平面.

（2）解法一：由（1）知，四邊形為平行四邊形，∴ ，

∵四邊形為等腰梯形， ， ，

∴，∴三角形是等邊三角形，∴，

做于，則，

∵平面， 平面，∴平面平面，

又平面平面， ， 平面，

∴平面，∴點(diǎn)到平面的距離為，

又∵為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，即，又，

∴ .

解法二： ， 平面， 平面，∴平面，

∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，

做于點(diǎn)，由，知三角形是等邊三角形，∴，

∵平面， 平面，∴平面平面，

又平面平面， ， 平面，

∴平面，∴點(diǎn)到平面的距離為，

又為線段的中點(diǎn)，∴ ，

∴ .