Question

若對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x），存在常數(shù)a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)，且階數(shù)為a．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=sinπx，g（x）=x²是否為階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）證明：函數(shù)h（x）=2^x是回旋函數(shù)；
（Ⅲ）證明：若函數(shù)f（x）是一個(gè)階數(shù)為a（a＞0）的回旋函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[0，2014a]上至少存在2014個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)回旋函數(shù)的定義，一一加以判斷，注意運(yùn)用誘導(dǎo)公式和恒成立思想；
（Ⅱ）由定義可得2^x+a+a•2^x=0?2^a=-a，則a＜0，令m（x）=2^x+x，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，即可得證；
（Ⅲ）由定義得到f（x+a）=-af（x），由于a＞0，由零點(diǎn)存在定理得，在區(qū)間（x，x+a）上必有一個(gè)零點(diǎn)令x=0，a，2a，3a，…，2013a，即可得到．

解答： （Ⅰ）解：對(duì)于f（x）=sin（πx），sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0，
對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以f（x）=sin（πx）是1階回旋函數(shù)．
對(duì)于g（x）=x²，則（x+1）²+x²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)都不成立，故g（x）=x²不是1階回旋函數(shù)．
（Ⅱ）證明：對(duì)于h（x）=2^x，2^x+a+a•2^x=0?2^a=-a，則a＜0，
令m（x）=2^x+x，m（-1）＜0，m（0）＞0，則方程必有一解a，且-1＜a＜0，
故函數(shù)h（x）=2^x是回旋函數(shù)．
（Ⅲ）證明：若函數(shù)f（x）是一個(gè)階數(shù)為a（a＞0）的回旋函數(shù)，
則f（x+a）+af（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，即有f（x+a）=-af（x），
由于a＞0，則f（x+a）與f（x）異號(hào)，由零點(diǎn)存在定理得，在區(qū)間（x，x+a）上必有一個(gè)零點(diǎn)，
可令x=0，a，2a，3a，…，2013a，則函數(shù)f（x）在[0，2014a]上至少存在2014個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，關(guān)鍵是理解新定義，利用新定義時(shí)，應(yīng)注意賦值法的運(yùn)用，同時(shí)考查零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．