Question

13．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^2}$
（1）證明數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是等差數(shù)列   
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）若b_n＞k對任意的n∈N^*恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n+b_n=1，可得b_n=1-a_n，b₁=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．代入可得b_n+1=$\frac{_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{2-_{n}}$，證明$\frac{1}{_{n+1}-1}$-$\frac{1}{_{n}-1}$為一個常數(shù)即可．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{_{n}-1}$=-n-3，解得b_n．
（3）由（2）可得：b_n=1-$\frac{1}{n+3}$單調(diào)遞增，可得b_n≥b₁=$\frac{3}{4}$．即可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵a_n+b_n=1，∴b_n=1-a_n，b₁=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
b_n+1=$\frac{_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$=$\frac{_{n}}{_{n}（2-_{n}）}$=$\frac{1}{2-_{n}}$，
∴$\frac{1}{_{n+1}-1}$-$\frac{1}{_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2-_{n}}-1}$-$\frac{1}{_{n}-1}$=$\frac{2-_{n}-1}{_{n}-1}$=-1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是等差數(shù)列，首項為-4，公差為-1．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{_{n}-1}$=-4-（n-1）=-n-3，
解得b_n=1-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n+2}{n+3}$．
（3）由（2）可得：b_n=1-$\frac{1}{n+3}$單調(diào)遞增，∴b_n≥b₁=$\frac{3}{4}$．
∵b_n＞k對任意的n∈N^*恒成立，
∴k＜$\frac{3}{4}$．
∴k的取值范圍是$（-∞，\frac{3}{4}）$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．