Question

如圖，在以點(diǎn)為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點(diǎn)，，曲線是滿足為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，且曲線過點(diǎn).

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線l與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、

若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）(Ⅱ) [-，-1]∪（-1， 1）∪（1，）.

【解析】(I)先建系，然后根據(jù)為定值,可確定點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，

然后按照求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求解即可.

(II) 先設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

根據(jù)條件可知 ,從而得到k的取值范圍.

再利用弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理用k表示出|EF|,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到直線l的距離，從而表示出三角形的面積，這樣三角形的面積就表示成了關(guān)于k的函數(shù)，

再根據(jù),得到關(guān)于k的不等式，從而解出k的取值范圍，再與前面k的取值范圍求交集即可.

（Ⅰ）解法1：以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.

設(shè)實(shí)平軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，

則c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.∴曲線C的方程為.

解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜AB｜＝4.

∴曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.

設(shè)雙曲線的方程為＞0，b＞0）.

則由解得a²=b²=2,∴曲線C的方程為

(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，

∴ 　　

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.

設(shè)E（x，y），F(xiàn)(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面積不小于2,即S_△OEF，則有

        ③

綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).

解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，

∴ 　　

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),則由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

當(dāng)E、F在同一去上時(shí)（如圖1所示），

S_△OEF＝

當(dāng)E、F在不同支上時(shí)（如圖2所示）.

S_△ODE=

綜上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面積不小于2

     �、�

綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1， 1）∪（1，）.