Question

2．已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，現(xiàn)給出如下結(jié)論；
①f（x）≤1．；②f（x）≥3；③f（0）f（1）＜0；④f（0）f（3）＞0；⑤abc＜4
其中正確結(jié)論的序號是③④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，確定函數(shù)的極值點(diǎn)及a、b、c的大小關(guān)系，由此可得結(jié)論．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
∴當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＜1，或x＞3時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3），
所以f（x）極大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，f（x）極小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三個(gè)解a、b、c，那么結(jié)合函數(shù)f（x）草圖可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)x=b在1～3之間，所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)，解不等式，綜合性強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合可以使本題直觀．