Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在區(qū)間（-2，1）內(nèi)，當(dāng)x=-1時(shí)取得極小值，當(dāng)x=

2

3

時(shí)取得極大值．
（1）求函數(shù)y=f（x）在x=-2時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程．
（2）求函數(shù)f（x）在[-2，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1處取得極小值，在x=

2

3

處取得極大值，建立方程，即可求a，b的值，從而求出切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值和端點(diǎn)值，從而求出函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx，∴f′（x）=-3x²+2ax+b（2分），
∵函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1處取得極小值，在x=

2

3

處取得極大值，
∴f′（-1）=0，f′（

2

3

）=0（6分），
∴-3（-1）²+2a×（-1）+b=0，
-3×(

2

3

)2+2a•

2

3

+b=0，
聯(lián)立求解得a=-

1

2

，b=2，
∴f（x）=-x³-

1

2

x²+2x，
∴f（-2）=2，f′（-2）=-8，
∴切線方程為：8x+y+14=0．
（2）（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=-x³-

1

2

x²+2x，
當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，f（x）在[-2，-1）遞減，在（-1，

2

3

）遞增，在（

2

3

，1]遞減，
∴f（x）_極小值=f（-1）=-

3

2

，f（x）_極大值=f（

2

3

）=

22

27

，
又f（-2）=2，f（1）=

1

2

，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．