Question

18．已知向量$\vec a$=（sinx，cosx），$\vec b$=（1，$\sqrt{3}$），若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$且$\overrightarrow a，\overrightarrow b$方向相同，則$\overrightarrow a$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=ϕ（0＜ϕ＜π）對(duì)稱(chēng)，則ϕ=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量共線(xiàn)的性質(zhì)、同角三角的基本關(guān)系，求得sinx=$\frac{1}{2}$，cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\overrightarrow a$；在老鷹正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，求得ϕ．

解答 解：向量$\vec a$=（sinx，cosx），$\vec b$=（1，$\sqrt{3}$），若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$且$\overrightarrow a，\overrightarrow b$方向相同，∴$\frac{sinx}{1}$=$\frac{cosx}{\sqrt{3}}$，sinx＞0，cosx＞0．
再根據(jù)sin²x+cos²x=1，可得sinx=$\frac{1}{2}$，cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\overrightarrow a$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=ϕ（0＜ϕ＜π）對(duì)稱(chēng)，
則ϕ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得ϕ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故ϕ=$\frac{π}{6}$．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）； $\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量共線(xiàn)的性質(zhì)，同角三角的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．