Question

【題目】已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．

（1）當(dāng)切線PA的長度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若的外接圓為圓N，試問：當(dāng)P運(yùn)動時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）圓過定點(diǎn)，；（3）當(dāng)時(shí)，AB有最小值．

【解析】

（1）設(shè)，由，計(jì)算即可求得，得出結(jié)果；

（2）因?yàn)?/span>A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，所以圓的方程為，化簡為，由方程恒成立可知，即可求得動圓所過的定點(diǎn)；

（3）由圓和圓方程作差可得直線方程，設(shè)點(diǎn)到直線AB的距離，則，計(jì)算化簡可得結(jié)果.

（1）由題可知，圓M的半徑，設(shè)，

因?yàn)?/span>PA是圓M的一條切線，所以，

所以，

解得或，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，

所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，

其方程為，

即，

由，

解得或，

所以圓過定點(diǎn)，．

（3）因?yàn)閳AN方程為，

即①

又圓②

①-②得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為

．

點(diǎn)到直線AB的距離，

所以相交弦長

，

所以當(dāng)時(shí)，AB有最小值．