Question

20．直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$相交于A、B兩點，且線段AB的中點為M（1，1），則直線l的方程為x+3y-4=0．

Answer 1

分析 通過直線l過點M（1，1）可設其方程為x=m（y-1）+1，并與橢圓方程聯立，利用韋達定理及中點坐標公式計算即得結論．

解答 解：依題意，設直線l方程為：x=m（y-1）+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：
（3+m²）y²-2m（m-1）y+m²-2m-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{2m（m-1）}{3+{m}^{2}}$，
∵且線段AB的中點為M（1，1），
∴$\frac{2m（m-1）}{3+{m}^{2}}$=2，即m=-3，
∴直線l方程為x=-3（y-1）+1，即x+3y-4=0，
故答案為：x+3y-4=0．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．