Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-8x-1（a＜0）．若曲線y=f（x）的切線斜率的最小值是-9．求：
（1）a的值；
（2）函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）先求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，利用曲線y=f（x）的切線斜率的最小值是-9，求出a的值即可；
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-8x-1，
∴f′（x）=x²+2ax-8．
∴當(dāng)x=-a時，f′（x）有最小值-a²-8
由已知：-a²-8=-9，∴a²=1
∵a＜0，∴a=-1；
（2）由（1）f′（x）=x²-2x-8
令f′（x）=0得x=-2或4
當(dāng)x變化時，f′（x）及f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當(dāng)x=-2時，f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=$\frac{25}{3}$；
當(dāng)x=4時，f（x）取得極小值，極小值為f（4）=-$\frac{83}{3}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值，及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．