Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=x₀處取得最小值2，求a和x₀的值；
（2）設(shè)x₁，x₂是任意正數(shù)，證明：f（x₁）+f（x₂）≥2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，從而求出a的值和x₀的值即可；
（2）根據(jù)作差法證明即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是{x|x＞0}，f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=2，
解得：a=e，則x₀=$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{e}$；
（2）∵f（x₁）+f（x₂）-2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
=（ax₁-lnx₁）+（ax₂-lnx₂）-2（a$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$-ln$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）
=ln${（\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}）}^{2}$-lnx₁x₂
=ln$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{+x}_{2}}^{2}+{{2x}_{1}x}_{2}}{{{4x}_{1}x}_{2}}$
≥ln$\frac{{{2x}_{1}x}_{2}+{{2x}_{1}x}_{2}}{{{4x}_{1}x}_{2}}$=0，
∴f（x₁）+f（x₂）≥2f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．