Question

20．在10L水中有3個(gè)細(xì)菌，從中任取4L水，設(shè)其中含有細(xì)菌的個(gè)數(shù)為X，求：
（1）P（X=1）；
（2）X的概率分布；
（3）E（X），D（X）．（注：結(jié)果都用小數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）每個(gè)細(xì)菌被取的概率均為$\frac{2}{5}$，三個(gè)細(xì)菌獨(dú)立，由此能求出P（x=1）．
（2）由題意X～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出X的概率分布列．
（3）由X～B（3，$\frac{2}{5}$），利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)能求出E（X），D（X）．

解答 解：（1）∵在10L水中有3個(gè)細(xì)菌，從中任取4L水，
∴每個(gè)細(xì)菌被取的概率均為$\frac{2}{5}$，三個(gè)細(xì)菌獨(dú)立，
∴P（x=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$．
（2）由題意X～B（3，$\frac{2}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（x=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$．
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$，
∴X的概率分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

（3）∵X～B（3，$\frac{2}{5}$），
∴E（X）=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
D（X）=3×$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．