Question

1．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁=4，$\frac{5}{4}$a₃是a₂、a₄的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=b_n+1，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₂+S₆=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列c_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{（{b_n}-1）（{b_n}+1）}}，n為奇數(shù)\\ \frac{{2（{b_n}-1）}}{a_n}，n為偶數(shù)\end{array}$求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n；
（3）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n，若不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞1，由a₁=4，$\frac{5}{4}$a₃是a₂、a₄的等差中項(xiàng)，可得$\frac{5}{2}×4×{q}^{2}$=4q+4q³，解得q即可得出a_n．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+1=b_n+1，可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為1．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出．
（2）n為奇數(shù)時(shí)，c_n=$\frac{1}{（_{n}-1）（_{n}+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．n為偶數(shù)時(shí)，c_n=$\frac{2（_{n}-1）}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．通過分組，分別利用數(shù)列“裂項(xiàng)求和”方法、“錯(cuò)位相減法”即可得出．
（3）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n=2ⁿ⁺²-4．代入不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n，化為：λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞1，∵a₁=4，$\frac{5}{4}$a₃是a₂、a₄的等差中項(xiàng)，∴2×$\frac{5}{4}$a₃=a₂+a₄，∴$\frac{5}{2}×4×{q}^{2}$=4q+4q³，化為：2q²-5q+2=0，q＞1，解得q=2．
∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=b_n+1，∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，公差為1．
∵S₂+S₆=a₄，∴8b₁+1+$\frac{6×5}{2}$×1=2⁵，解得b₁=2，
∴b_n=2+（n-1）=n+1．
（2）n為奇數(shù)時(shí)，c_n=$\frac{1}{（_{n}-1）（_{n}+1）}$=$\frac{1}{n×（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
n為偶數(shù)時(shí)，c_n=$\frac{2（_{n}-1）}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c_2n），
c₁+c₃+…+c_2n-1=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}$$（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
設(shè)M_n=c₂+c₄+…+c_2n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n}{{2}^{2n}}$=$\frac{2}{4}$+$\frac{4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{2n}{{4}^{n}}$，
∴$\frac{1}{4}$M_n=$\frac{2}{{4}^{2}}$+$\frac{4}{{4}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{4}^{n}}$+$\frac{2n}{{4}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{4}$M_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{{4}^{2}}$+…+$\frac{2}{{4}^{n}}$-$\frac{2n}{{4}^{n+1}}$=$\frac{2×\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2n}{{4}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{8+6n}{3×{4}^{n+1}}$，
∴M_n=$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．
∴數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n=$\frac{n}{2n+1}$+$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9×{4}^{n}}$．
（3）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為A_n=$\frac{4×（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺²-4．
不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n，化為：λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$，
$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=n+1+$\frac{9}{n+1}$-3≥2$\sqrt{9}$-3=3，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)．
由于不等式nlog₂（A_n+4）-λb_n+7≥3n對(duì)一切n∈N^*恒成立，∴λ≤3．
因此實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”、“錯(cuò)位相減法”、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．