Question

7．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，則方程f（x）=$\frac{2x-8}{x+1}$在（0，+∞）解的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 確定f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
∵f（x+2）=-f（x）=f（-x），
∴函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
在（0，+∞）上函數(shù)y=f（x）與y=$\frac{2x-8}{x+1}$的圖象如圖所示，交點(diǎn)有4個(gè)，
∴方程f（x）=$\frac{2x-8}{x+1}$在（0，+∞）解的個(gè)數(shù)是4，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．