Question

12．等腰△ABC中，底邊BC=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|的最小值為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，則△ABC的面積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得BC邊上的高為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面積$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin120° 的值．

解答 解：等腰△ABC中，底邊BC=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|的最小值為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，則△ABC的面積
故BC邊上的高為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，故有sin∠C=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，
∴${（2\sqrt{3}）}^{2}$=AB²+AC²-2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin120°=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，直角三角形中的邊角關(guān)系，余弦定理，屬于中檔題．