Question

9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知$\overrightarrow{m}$=（2a，ccosB+bcosC），$\overrightarrow{n}$=（1，cosB）且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求B的值；
（2）當△ABC的面積為4$\sqrt{3}$時，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，得2acosB-ccosB-bcosC=0，再利用正弦定理、和差化積即可得出．
（2）利用余弦定理、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，得2acosB-ccosB-bcosC=0，
由正弦定理，得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
在△ABC中，sinA＞0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，又B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）∵$B=\frac{π}{3}$，∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=4$\sqrt{3}$，∴AC=16．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=16，
當且僅當a=c=4時，b²取得最小值16．
∴b的最小值為4．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差化積、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．