Question

【題目】如圖（一），在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置得到圖（二），點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)在何處時(shí)，平面平面，并證明；

（2）若，，證明：點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，并求出該距離.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先判斷出點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)，平面平面；再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)論成立；

（2）先由(1)得到平面平面，且交線為，再過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，從而可得就是點(diǎn)到底面的距離，最后由，即可求出結(jié)果.

解：（1）當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)，平面平面.

證明如下：

在圖（一）的直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，

所以.

在圖（二）中，有，，，平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.

又，所以.

由于，

為的中點(diǎn)，

所以.

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）圖（一）中，由及條件關(guān)系，

得，

由（1）的證明可知，在圖（二）中有平面.

所以平面平面，且交線為，

所以過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

由平面平面，可知平面，

所以就是點(diǎn)到底面的距離.

由知，

所以.

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

由，

得 ，

即，

即得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離，且為.