Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，n∈N^*．已知a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，且4a_n+2=4a_n+1-a_n．
（1）求a₄的值；
（2）證明：{a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，且4a_n+2=4a_n+1-a_n．可得4a₄=4a₃-a₂．
（2）由4a_n+2=4a_n+1-a_n，變形為：${a}_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n），即可證明．
（3）由（2）可得：a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，變形為2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=4，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 （1）解：∵a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，且4a_n+2=4a_n+1-a_n．
∴4a₄=4a₃-a₂=$\frac{7}{2}$，解得a₄=$\frac{7}{8}$．
（2）證明：由4a_n+2=4a_n+1-a_n，變形為：${a}_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{2}$（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n），
∴{a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n}為等比數(shù)列，首項為1，公比為$\frac{1}{2}$．
（3）解：由（2）可得：a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=4，
∴數(shù)列{2ⁿa_n}是等差數(shù)列，公差為4．
∴2ⁿa_n=2+4（n-1）=4n-2，
∴a_n=$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．