Question

16．存在函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意x∈R都有（　�。�

• A． f（sin2x）=sinx
• B． f（x²+2x）=|x+1|
• C． f（sin2x）=x²+x
• D． f（x²+1）=|x+1|

Answer 1

分析 對(duì)于A、C，分別令x=π、令x=$\frac{π}{2}$，推出矛盾，故排除A、C；對(duì)于選項(xiàng)B，令t=x²+2x（t≥-1），可得f（x）=$\sqrt{x+1}$（x≥-1），滿足題意；對(duì)于D，分別令x=1、x=-1，推出矛盾，故排除D，從而得到答案．

解答 解：對(duì)于f（sin2x）=sinx，令x=π，則有f（sin2π）=f（0）=sinπ=0，再令x=$\frac{π}{2}$，可得f（sinπ）=f（0）=sin$\frac{π}{2}$=1，
矛盾，故f（sin2x）=sinx 不成立．
由f（x²+2x）=|x+1|=$\sqrt{{（x+1）}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2x+1}$，令t=x²+2x（t≥-1），則f（t）=$\sqrt{t+1}$，
即f（x）=$\sqrt{x+1}$（x≥-1），滿足題意．
對(duì)于f（sin2x）=x²+x，令x=π，則有f（sin2π）=f（0）=π²+π，再令x=$\frac{π}{2}$，可得f（sinπ）=f（0）=$\frac{{π}^{2}}{4}$+$\frac{π}{2}$，
矛盾，故f（sin2x）=x²+x不成立．
對(duì)于f（x²+1）=|x+1|，令x=1，可得f（2）=2，再令令x=-1，可得f（2）=0，
矛盾，故f（x²+1）=|x+1|不成立．
綜上可得，只有B滿足條件，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，屬于中檔題．