Question

己知命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax-2 在[-1，1]內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，命題q：x²+3（a+1）x+2≤0在區(qū)間[

1

2

，

3

2

]內(nèi) 恒成立，若命題“p且g”是假命題，實(shí)數(shù)q的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先根據(jù)零點(diǎn)的概念，并結(jié)合二次函數(shù)f（x）圖象，以及通過求導(dǎo)求函數(shù)在閉區(qū)間上最小值的方法即可求出命題p，q下的a的取值范圍，根據(jù)p且q為假命題知p假或q假，這樣求出p假，q假時(shí)的a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：命題p：△=a²+8＞0，∴f（x）和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則：

f(-1)=-a-1＜0 f(1)=a-1≥0

，或

f(-1)=-a-1≥0 f(1)=a-1＜0

；
解得a≥1，或a≤-1；
命題q：x²+3（a+1）x+2≤0在區(qū)間[

1

2

，

3

2

]內(nèi)恒成立；
∴a≤

-x2-3x-2

3x

在區(qū)間[

1

2

，

3

2

]內(nèi)恒成立；
令g（x）=

-x2-3x-2

3x

，g′（x）=

-3x2+6

9x2

；
令g′（x）=0，x=

2

，或-

2

（舍去）；
∴

1

2

≤a＜

2

時(shí)，g′（x）＞0，

2

＜x≤

3

2

時(shí)，g′（x）＜0；
∴g(

2

)是g（x）的極大值，又g（

1

2

）=-

5

2

，g(

3

2

)=-

35

18

，-

5

2

＜-

35

18

；
∴g（x）的最小值為-

5

2

；
∴a≤-

5

2

；
若命題“p且g”是假命題，則p假，或q假，則：
-1＜a＜1，或a＞-

5

2

；
∴a＞-

5

2

；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查判別式的取值和二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)的關(guān)系，在求命題p下a的取值范圍時(shí)可結(jié)合二次函數(shù)f（x）的圖象，以及通過求導(dǎo)來求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值的方法，p且q的真假和p，q真假的關(guān)系．