【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延長A1C1至點(diǎn)P,使C1P=A1C1 , 連接AP交棱CC1于點(diǎn)D. (Ⅰ)求證:PB1∥平面BDA1
(Ⅱ)求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值.

【答案】解:以A1為原點(diǎn),A1B,A1C,A1A分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立坐標(biāo)系, 則A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),P(0,2,0)
(Ⅰ)在△PAA1中,C1D= AA1,則D(0,1,
=(1,0,1), =(0,1, ), =(﹣1,2,0)
設(shè)平面BDA1的一個(gè)法向量為 =(a,b,c)

令c=﹣1,則 =(1, ,﹣1)
=1×(﹣1)+ ×2+(﹣1)×0=0
∴PB1∥平面BDA1
(Ⅱ)由(I)知平面BDA1的一個(gè)法向量 =(1, ,﹣1)
=(1,0,0)為平面AA1D的一個(gè)法向量
∴cos< , >= = =
故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為
【解析】以A1為原點(diǎn),A1B,A1C,A1A分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立坐標(biāo)系,則我們易求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出各線的方向向量及各面的法向量.(I)要證明PB1∥平面BDA1 , 我們可以先求出直線PB1的向量,及平面BDA1的法向量,然后判斷證明這兩個(gè)向量互相垂直(II)由圖象可得二面角A﹣A1D﹣B是一個(gè)銳二面角,我們求出平面AA1D與平面A1DB的法向量,然后求出兩個(gè)法向量夾角的余弦值,得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和直線與平面平行的性質(zhì),掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為:線面平行則線線平行即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)g(x)的圖象可能是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知f(x)= ,其中 =(2cosx,﹣ sin2x), =(cosx,1)(x∈R).
(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC 中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,f(A)=﹣1,a= , =3,求邊長b和c的值(b>c).

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【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)2500元,已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)=200xx3(),若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出,要使利潤最大,該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品?最大利潤是多少?

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【題目】某企業(yè)招聘大學(xué)畢業(yè)生,經(jīng)過綜合測試,錄用了14名女生和6名男生,這20名學(xué)生的測試成績?nèi)缜o葉圖所示(單位:分),記成績不小于80分者為等,小于80分者為等.

(1)求女生成績的中位數(shù)及男生成績的平均數(shù);

(2)如果用分層抽樣的方法從等和等中共抽取5人組成“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”,則從等和等中分別抽幾人?

(3)在(2)問的基礎(chǔ)上,現(xiàn)從該“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人是等的概率.

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【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的一年收益與投資額成正比,其關(guān)系如圖(1);投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的一年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(2).(注:收益與投資額單位:萬元

(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的一年收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;

(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財(cái)投資,問:怎么分配資金能使一年的投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?

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【題目】log0.72,log0.70.8,0.92的大小順序是(
A.log0.72<log0.70.8<0.92
B.log0.70.8<log0.72<0.92
C.0.92<log0.72<log0.70.8
D.log0.72<0.92<log0.70.8

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【題目】甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行選擇題解題比賽,已知每個(gè)選擇題選擇正確得分,否則得分.其測試結(jié)果如下:甲解題正確的個(gè)數(shù)小于乙解題正確的個(gè)數(shù),乙解題正確的個(gè)數(shù)小于丙解題正確的個(gè)數(shù),丙解題正確的個(gè)數(shù)小于丁解題正確的個(gè)數(shù);且丁解題正確的個(gè)數(shù)的倍小于甲解題正確的個(gè)數(shù)的倍,則這四人測試總得分?jǐn)?shù)最少為( )

A. B. C. D.

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【題目】某公司共有職工1500人,其中男職工1050人,女職工450人.為調(diào)查該公司職工每周平均上網(wǎng)的時(shí)間,采用分層抽樣的方法,收集了300名職工每周平均上網(wǎng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí))

男職工

女職工

總計(jì)

每周平均上網(wǎng)時(shí)間不超過4個(gè)小時(shí)

每周平均上網(wǎng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)

70

總計(jì)

300

(Ⅰ)應(yīng)收集多少名女職工樣本數(shù)據(jù)?

(Ⅱ)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù),得到職工每周平均上網(wǎng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:,,,,,.試估計(jì)該公司職工每周平均上網(wǎng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率是多少?

(Ⅲ)在樣本數(shù)據(jù)中,有70名女職工的每周平均上網(wǎng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí).請將每周平均上網(wǎng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該公司職工的每周平均上網(wǎng)時(shí)間與性別有關(guān)”

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