Question

如圖，四邊形與均為菱形，，且.

（1）求證：；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）連結(jié)FO.由四邊形ABCD為菱形，得，且O為AC中點(diǎn).
根據(jù)FA=FC，得到.. 
（Ⅱ）由四邊形與均為菱形，
得到得出
平面， .
（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值為.

解析試題分析：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以，且O為AC中點(diǎn).
又FA=FC，所以.             2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5b/c/p0szr.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.                               3分
（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/12/6/148ry2.png" style="vertical-align:middle;" />與均為菱形，
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/05/1/1yz9w2.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
又，
所以平面
又
所以.              6分
（Ⅲ）解：因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且，所以為等邊三角形．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dd/3/hg9tx.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，所以由（Ⅰ）知，故
.
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=2．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，則BD=2，所以O(shè)B=1，.
所以.      8分
所以.
設(shè)平面BFC的法向量為則有  所以
取，得.      12分
易知平面的法向量為.
由二面角A-FC-B是銳角，得
.
所以二面角A-FC-B的余弦值為.    14分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。證明過(guò)程中，往往需要將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題加以解答。本題解答，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了繁瑣的證明過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了“以算代證”，對(duì)計(jì)算能力要求較高。