Question

18．已知函數(shù)f（x）=2x-a，g（x）=xe^x，若對(duì)任意x₁∈[0，1]存在x₂∈[-1，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2-e，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的值域是g（x）值域的子集，分別求出f（x）和g（x）的值域，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：若對(duì)任意x₁∈[0，1]存在x₂∈[-1，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
則函數(shù)f（x）的值域是g（x）值域的子集，
x∈[0，1]時(shí)，f（x）的值域是：[-a，2-a]，
對(duì)于g（x）=xe^x，x∈[-1，1]，
g′（x）=e^x（x+1）≥0，
g（x）在[-1，1]遞增，
g（x）的值域是[-e^-1，e]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a≥-\frac{1}{e}}\\{2-a≤e}\end{array}\right.$，解得：2-e≤a≤$\frac{1}{e}$，
故答案為：[2-e，$\frac{1}{e}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查子集的概念，考查一次函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．