Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]時(shí)，求f（x）的最大值．
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=2，sinB=2sinA，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出f（x）的最大值；
（Ⅱ）根據(jù)f（C）=2求出C的值，再由正弦、余弦定理，即可求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1（x∈R），
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{3}$，
此時(shí)sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，
f（x）取得最大值f（x）_max=2；…（6分）
（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）+1=2，
∴$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
令$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
解得$C=\frac{π}{3}$；…（8分）
又∵sinB=2sinA，
∴$\frac{2R}=\frac{2a}{2R}$，
∴b=2a；…（10分）
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=3，
幾a²+b²-ab=3，
整理得5a²-2a-3=0，
解得a=1或a=-$\frac{3}{5}$（不合題意，舍去），
∴a的值是1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)求值以及解三角形的應(yīng)用問題，是綜合性題目．