Question

3．已知函數f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值為1．
（1）試求實數m的值；
（2）求證：log₂（2^a+2^b）-m≥$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式，結合f（x）的最小值為1．求實數m的值；
（2）利用基本不等式，即可證明結論．

解答 解：（1）f（x）=|x+2|+|x+m|≥|2-m|，
當且僅當（x+2）（x-m）≤0時取等號…（2分）
所以|2-m|=1，…（3分）
因為m＜2，
所以解得 m=1…（4分）
證明：（2）∵2^a＞0，2^b＞0，
∴2^a+2^b≥$2\sqrt{{2}^{a+b}}$，
∴l(xiāng)og₂（2^a+2^b）-m≥log₂（$2\sqrt{{2}^{a+b}}$）-1=$\frac{a+b}{2}$．…（5分）

點評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，考查了分類討論思想和轉化思想的應用，屬于中檔題．