Question

19．已知R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（1，2）
• C． （-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 結(jié)合已知中可導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象，分析不同區(qū)間上（x²-2x-3）和f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而可得答案．

解答 解：由已知中函數(shù)f（x）的圖象可得：
當(dāng)x＜-1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，此時(shí)f′（x）＞0，x²-2x-3＞0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，此時(shí)f′（x）＜0，x²-2x-3＜0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，此時(shí)f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，x²-2x-3＜0，（x²-2x-3）f′（x）＜0，
當(dāng)x＞3時(shí)，x²-2x-3＞0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
綜上可得：不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞），
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合思想，分類(lèi)討論思想，難度中檔．