Question

20．如圖，等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，圓心O為AB的中點(diǎn)，AC切圓O于點(diǎn)D．
（I）證明：BC為圓O的切線；
（Ⅱ）連接BD，作CH⊥DB，H為垂足，作HF⊥BC，F(xiàn)為垂足，求$\frac{BF}{DH}$的值．

Answer 1

分析 （I）連接CO，證明：O到BC的距離對(duì)于半徑，即可證明BC為圓O的切線；
（Ⅱ）求出sin∠CBD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠CBD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．利用三角函數(shù)，即可求$\frac{BF}{DH}$的值．

解答 （I）證明：連接CO．
在△ABC中，O為AB的中點(diǎn)，
∴CO平分∠ACB，
∴O到AC的距離等于O到BC的距離，
∵AC切圓O于點(diǎn)D，
∴OD⊥AC，
∴r=OD，
∴O到BC的距離=r，
∴BC為圓O的切線；
（Ⅱ）解：Rt△ACB中，AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，
∴CO⊥AO，CO=AO
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OD⊥AC，
∴D為AC中點(diǎn)，CD=$\frac{1}{2}$AC．
設(shè)CD=x，則BC=AC=2x．
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{5}$x，
∴sin∠CBD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠CBD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△BCH中，BC=2x，BH=BCcos∠CBD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
∴DH=BD-BH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
在Rt△BFH中，BF=BHcos∠CBD=$\frac{8}{5}$x，
∴$\frac{BF}{DH}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的證明，考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．