Question

7．已知△ABC中，∠C為直角，D為邊AC上一點，K為BD上一點，且∠ABC=∠KAD=∠AKD．證明：BK=2DC．

Answer 1

分析 設(shè)∠ABC=∠KAD=∠AKD=α，則tanα=$\frac{AC}{BC}$，tan2α=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{2tanα}{1-{tan}^{2}α}$，進而可得CD=$\frac{{BC}^{2}-{AC}^{2}}{2AC}$，BK=$\frac{{BC}^{2}-{AC}^{2}}{AC}$，進而得到答案．

解答 證明：設(shè)∠ABC=∠KAD=∠AKD=α，
則tanα=$\frac{AC}{BC}$，tan2α=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{2tanα}{1-{tan}^{2}α}$，
∴CD=$\frac{BC•（1-{tan}^{2}α）}{2tanα}$=$\frac{BC•[1-{（\frac{AC}{BC}）}^{2}]}{2•\frac{AC}{BC}}$=$\frac{{BC}^{2}-{AC}^{2}}{2AC}$，
則DK=AD=AC-CD=AC-$\frac{{BC}^{2}-{AC}^{2}}{2AC}$=$\frac{{3A{C}^{2}-BC}^{2}}{2AC}$，
∴BK=BD-DK=$\sqrt{{BC}^{2}+{CD}^{2}}$-DK=$\sqrt{{BC}^{2}+{（\frac{{BC}^{2}-{AC}^{2}}{2AC}）}^{2}}$-$\frac{{3A{C}^{2}-BC}^{2}}{2AC}$=$\frac{{BC}^{2}+{AC}^{2}}{2AC}$-$\frac{{3A{C}^{2}-BC}^{2}}{2AC}$=$\frac{{2BC}^{2}-2{AC}^{2}}{2AC}$=$\frac{{BC}^{2}-{AC}^{2}}{AC}$，
∴BK=2DC

點評 本題考查的知識點是二倍角的正切公式，三角函數(shù)的定義，勾股定理，難度中檔．