Question

5．過直線x-y-2=0上的動點P作拋物線y=$\frac{1}{2}$x²的切線，切點分別為M，N，則直線MN過點（1，2）．

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，聯(lián)立求得P點坐標(biāo)，設(shè)直線MN的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得x₀=k，y₀=-b，代入直線方程，即可求得直線MN方程，即可求得直線恒過定點．

解答 解：設(shè)M（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），P（x₀，y₀）．
∵y=$\frac{1}{2}$x²，∴y′=x．
則在點M處的切線方程為y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），化為y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²．①
同理在點B處的切線方程為y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²．②
由①②得2x₀=x₁+x₂，2y₀=x₁x₂，顯然直線AB存在斜率．
設(shè)直線MN的方程是y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，得x²-2kx-2b=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，即x₀=k，y₀=-b，
代入x₀-y₀-2=0，得b=2-k，
∴y=kx+b=kx+2-k，
∴y-2=k（x-1）
因此直線MN恒過定點（1，2），
故答案為：（1，2）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．