Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），四點(diǎn)P₁（1，1），P₂（0，1），P₃（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），P₄（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P₂點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P₂A與直線P₂B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得到P₂（0，1），P₃（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），P₄（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）三點(diǎn)在橢圓C上．把P₂（0，1），P₃（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）代入橢圓C，求出a²=4，b²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不滿足；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，（b≠1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程，結(jié)合已知條件能證明直線l過(guò)定點(diǎn)（2，-1）．

解答 解：（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，P₃（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），P₄（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）兩點(diǎn)必在橢圓C上，
又P₄的橫坐標(biāo)為1，∴橢圓必不過(guò)P₁（1，1），
∴P₂（0，1），P₃（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），P₄（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）三點(diǎn)在橢圓C上．
把P₂（0，1），P₃（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）代入橢圓C，得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
證明：（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，A（m，y_A），B（m，-y_A），
∵直線P₂A與直線P₂B的斜率的和為-1，
∴${k}_{{P}_{2}A}+{k}_{{P}_{2}B}$=$\frac{{y}_{A}-1}{m}+\frac{-{y}_{A}-1}{m}$=$\frac{-2}{m}$=-1，
解得m=2，此時(shí)l過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足．
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，（b≠1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，整理，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8kb}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
則${k}_{{P}_{2}A}+{k}_{{P}_{2}B}$=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}（k{x}_{1}+b）-{x}_{2}+{x}_{1}（k{x}_{2}+b）-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\frac{8k^{2}-8k-8k^{2}+8kb}{1+4{k}^{2}}}{\frac{4^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{8k（b-1）}{4（b+1）（b-1）}$=-1，又b≠1，
∴b=-2k-1，此時(shí)△=-64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直線l的方程為y=kx-2k-1，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-1，
∴l(xiāng)過(guò)定點(diǎn)（2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．