Question

已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A、B為拋物線y²=4x上異于O的兩點(diǎn)，且

OA

•

OB

=0，則|

AB

|的最小值為（　　）

• A、4
• B、8
• C、16
• D、64

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：向量與圓錐曲線

分析：分AB所在的直線與x軸垂直和不垂直討論，垂直時(shí)直接求出|

AB

|，不垂直時(shí)設(shè)出直線AB的方程，和拋物線聯(lián)立后利用

OA

•

OB

=0把直線的截距用斜率表示，再由弦長(zhǎng)公式把|

AB

|用含有直線的斜率表示，利用二次函數(shù)分析最小值后得答案．

解答： 解：不妨設(shè)A在第一象限，
當(dāng)AB的連線垂直于x軸時(shí)，由

OA

•

OB

=0可得OA所在直線的斜率為1，則直線OA的方程為y=x，
聯(lián)立

y2=4x y=x

，得A（4，4），
∴B（4，-4），此時(shí)|

AB

|=8；
當(dāng)AB的連線斜率存在且不等于0時(shí)，設(shè)AB方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+b y2=4x

，得k²x²+（2kb-4）x+b²=0．
x1+x2=

4-2kb

k2

，x1x2=

b2

k2

．
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2
=k2•

b2

k2

+kb•

4-2kb

k2

+b2=2b2+

4b-2kb2

k

．
由

OA

•

OB

=0，得x1x2+y1y2=

b2

k2

+2b2+

4b-2kb2

k

=

b2+2k2b2+4kb-2k2b2

k2

=0．
∴b=-4k．
∴|

AB

|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

(4-2kb)2 k4 -4 b2 k2

=

1+k2

•

16(1+4k2) k4

=4

1+5k2+4k4 k4

=4

( 1 k2 )2+5 1 k2 +4

．
∵

1

k2

＞0，
∴4

( 1 k2 )2+5 1 k2 +4

＞4

4

=8．
∴|

AB

|的最小值為8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力．考查了學(xué)生的計(jì)算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．