Question

如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，M、N分別是DA、BC上的點，且MN∥AB，現(xiàn)沿MN折起，使平面DCNM⊥平面ABNM．
（1）求證平面ADC⊥面AMD；（4分）
（2）設AM=x（0＜x＜1），MN到平面ADC的距離為y，試用x表示y；（6分）
（3）點M是中點時，y值是多少？（2分）

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得MN⊥AM，MN⊥DM，從而CD⊥平面AMD，由此能證明平面ADC⊥平面AMD．
（2）由MN∥CD，得MN∥平面ADC，故點M到平面ADC的距離即為點N到平面ADC的距離，MH為所求距離，由此能示出y=MH=

AM•DM

AD

=

x(1-x)

x2(1-x2)

，（0＜x＜1）．
（3）由y=

x(1-x)

x2+(1-x2)

≤

2

4

，當且僅當x=

1

2

時，ymax=

2

4

，此時M為AD的中點．

解答： （1）證明：如圖，∵折前ABCD是正方形，且MN∥AB∥CD，
∴MN⊥AM，MN⊥DM．（1分）
即CD⊥AM，CD⊥DM，（2分）
AM?平面AMD，DM?平面AMD，AM∩DM=M，
∴CD⊥平面AMD．（3分）
又∵CD?平面ADC，
∴平面ADC⊥平面AMD．（5分）
（2）解：∵MN∥CD，∴MN∥平面ADC，
故點M到平面ADC的距離即為點N到平面ADC的距離．（6分）
過M作MH⊥AD于H．
∵平面ADC⊥平面AMD，
∴MH⊥平面ADC，即MH為所求距離．    （8分）
在Rt△AMD中，
y=MH=

AM•DM

AD

=

x(1-x)

x2(1-x2)

，（0＜x＜1）．（10分）
（3）解：由（2）得 y=

x(1-x)

x2+(1-x2)

≤

x(1-x)

2x(1-x)

=

2

2

•

x+1-x

2

=

2

4

，（12分）
當且僅當x=1-x，即x=

1

2

時，ymax=

2

4

，此時M為AD的中點．（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查函數(shù)表達式的求法，考查點M是中點時，y值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．