Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P任作斜率為k₁，k₂的兩條直線，分別交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點（P，A，B三點互不相同），
（1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；
（2）若點P為拋物線C的頂點，且直線AB過點（0，

1

a

），求證：k₁•k₂是一個定值；
（3）若點P的坐標為（1，-1），且k₁+k₂=0，求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標準方程

專題：計算題,證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）拋物線C的方程y=ax²（a＜0）即x²=

1

a

y，由焦點坐標公式，準線方程公式即可；
（2）設(shè)出直線AB，聯(lián)立拋物線方程，消去x或y，運用韋達定理，直線的斜率公式，即可得證；
（3）設(shè)出直線PA，PB的方程，聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到x的方程，求出x₁，x₂，從而求出A，B的坐標，向量AP，AB的坐標，由向量的數(shù)量積小于0，求出k₁的范圍，從而得到y(tǒng)₁的范圍．

解答： （1）解：由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）即x²=

1

a

y，得，
焦點坐標為(0，

1

4a

)，準線方程為y=-

1

4a

．         
（2）證明：設(shè)直線lAB：y=kx+

1

a

，
聯(lián)立y=ax²，消去y得ax2-kx-

1

a

=0，
x1•x2=-

1

a2

消去x得； ay2-2y-ky+

1

a

=0，y1•y2=

1

a2

k₁•k2=

y1y2

x1x2

=-1，
故k₁•k₂是一個定值-1；           
（3）解：因為點P（1，-1）在拋物線y=ax²上，
所以a=-1，拋物線方程為y=-x²．
設(shè)直線PA：y+1=k₁（x-1），聯(lián)立y=-x²，得x²+k₁x-k-1=0，
則x₁=-k₁-1，代入y=-x²得y1=-(k1+1)2．
同理可得x₂=k₁-1，代入y=-x²得y2=-(k2+1)2．
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為A(-k1-1，-k12-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)．
于是

AP

=(k1+2，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)，
則

AP

•

AB

=2k1(k1+2)+4k1(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)．
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
求得k₁的取值范圍是k₁＜-2或-

1

2

＜k1＜0．又點A的縱坐標y₁滿足y1=-(k1+1)2，
故當k₁＜-2時，y₁＜-1；當-

1

2

＜k1＜0時，-1＜y1＜-

1

4

．
即y1∈(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．

點評：本題考查拋物線的焦點和準線方程，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，運用韋達定理解題，同時考查運用向量的方法，解決角的問題，屬于中檔題．