Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a，b的值；
（2）當(dāng)a²=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，可知切點(diǎn)處的函數(shù)值相等，切點(diǎn)處的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根據(jù)a²=4b，構(gòu)建函數(shù)$h（x）=f（x）+g（x）={x^3}+a{x^2}+\frac{1}{4}{a^2}x+1$，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而分類(lèi)討論，確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值．

解答 解：（1）由（1，c）公共切點(diǎn)可得：f（x）=ax²+1（a＞0），
則f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，
則g'（x）=3x²+b，k₂=3+b，∴2a=3+b①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=3\end{array}\right.$．
（2）∵a²=4b，∴設(shè)$h（x）=f（x）+g（x）={x^3}+a{x^2}+\frac{1}{4}{a^2}x+1$
則$h'（x）=3{x^2}+2ax+\frac{1}{4}{a^2}$，
令h'（x）=0，解得：${x_1}=-\frac{a}{2}$，${x_2}=-\frac{a}{6}$；
∵a＞0，∴$-\frac{a}{2}＜-\frac{a}{6}$，
∴原函數(shù)在$（{-∞\;，\;\;-\frac{a}{2}}）$單調(diào)遞增，在$（{-\frac{a}{2}\;，\;\;-\frac{a}{6}}）$單調(diào)遞減，在$（{-\frac{a}{6}\;，\;\;+∞}）$上單調(diào)遞增
①若$-1≤-\frac{a}{2}$，即a≤2時(shí)，最大值為$h（1）=a-\frac{a^2}{4}$；
②若$-\frac{a}{2}＜-1＜-\frac{a}{6}$，即2＜a＜6時(shí)，最大值為$h（{-\frac{a}{2}}）=1$
③若$-1≥-\frac{a}{6}$時(shí)，即a≥6時(shí)，最大值為$h（{-\frac{a}{2}}）=1$．
綜上所述：當(dāng)a∈（0，2]時(shí)，最大值為$h（1）=a-\frac{a^2}{4}$；當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，最大值為$h（{-\frac{a}{2}}）=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)．