Question

11．將一個底面圓的直徑為2、高為1的圓柱截成一個長方體，如圖所示，設(shè)這個長方體底面的一條邊長為x、對角線長為2，底面的面積為A．
（1）求面積A以x為自變量的函數(shù)式；
（2）求截得長方體的體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）作出橫截面，由這個長方體底面的一條邊長為x、對角線長為2，能求出底面的面積A．
（2）長方體的體積V=x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$•1，由此利用配方法能求出截得長方體的體積的最大值．

解答 解：（1）將一個底面圓的直徑為2、高為1的圓柱截成一個長方體，
橫截面如圖，
設(shè)這個長方體底面的一條邊長為x、對角線長為2，底面的面積為A．
由題意得A=x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．…（4分）
（未寫x的范圍扣1分）
（2）長方體的體積V=x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$•1=$\sqrt{-（{x}^{2}-2）^{2}+4}$，…（5分）
由（1）知0＜x＜2，
∴當(dāng)x²=2，即x=$\sqrt{2}$時，V_max=2．    …（7分）
故截得長方體的體積的最大值為2．  …（8分）

點評 本題考查長方體的底面面積的求法，考查長方體的體積的最大值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．