Question

6．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M為PB的中點(diǎn)，N在BC上，且AN=BN．
（Ⅰ）求證：AB⊥MN；
（Ⅱ）若∠ABC=30°，△NMA的面積為$\frac{\sqrt{15}}{24}$時(shí)，求點(diǎn)P到平面NMA的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AN為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB⊥MN．
（Ⅱ）過(guò)河卒子 同平面MNA的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)P到平面NMA的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M為PB的中點(diǎn)，N在BC上，且AN=BN，
∴AN、AC、AP兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，AN為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，1），M（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}+0$=0，
∴AB⊥MN．
（Ⅱ）∵∠ABC=30°，△NMA的面積為$\frac{\sqrt{15}}{24}$時(shí)，
∴由（Ⅰ）知$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
設(shè)平面MNA的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{3}}{4}x-\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=\frac{\sqrt{3}}{3}x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
∴點(diǎn)P到平面NMA的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．