6.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$cos(2x-$\frac{π}{3}$)-$\frac{1}{2}$cos2x,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論.
(2)利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$cos(2x-$\frac{π}{3}$)-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$cos2x•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$($\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x)=$\frac{1}{2}$sin(2x-$\frac{π}{6}$),
故函數(shù)f(x)的周期為$\frac{2π}{2}$=π.
(2)在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{4}$]上,2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$,$\frac{π}{3}$],
故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$;
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值-$\frac{1}{2}$.
綜上可得,f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{4}$]上的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$,最小值為-$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于基礎(chǔ)題.

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