Question

15．設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)m滿足對任意 x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），則稱f（x）為M上的m高調(diào)函數(shù)．如果定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）為R上的8高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 由已知求得分段函數(shù)f（x）的解析式，然后由f（x+8）≥f（x）分段得到a與x的不等關系，分離參數(shù)a求得a的范圍，取交集得答案．

解答 解：根據(jù)題意，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|x-{a^2}|-{a^2}，x≥0\\{a^2}-|x+{a^2}|，x＜0\end{array}\right.$，
當x≥0時，由f（x+8）≥f（x），得|x+8-a²|-a²≥|x-a²|-a²，
∴2x+8-2a²≥0，即a²≤x+4恒成立，
故-2≤a≤2；
當x≤-8時，由a²-|x+8+a²|≥a²-|x+a²|，得|x+8+a²|≤|x+a²|，
∴2x+8+2a²≤0，即a²≤-x-4恒成立，
故-2≤a≤2；
當-8＜x＜0時，由|x+8-a²|-a²≥a²-|x+a²|，得|x+8-a²|+|x+a²|≥2a²，
∴|a²-8+a²|≥2a²，解之得，$-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是：$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
故答案為：$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

點評 本題是新定義題，考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，訓練了利用分離變量法求解參數(shù)的取值范圍，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．