Question

20．（1）已知△ABC頂點A（4，4），B（5，3），C（1，1），求△ABC外接圓的方程．
（2）求圓心在x軸上，且與直線l₁：4x-3y+5=0，直線l₂：3x-4y-5=0都相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出圓的一般式方程，把三點的坐標代入，求出D、E、F的值得答案；
（2）設(shè)所求圓的圓心為（a，0），半徑為r（r＞0），則圓的方程為（x-a）²+y²=r²，由圓心到直線的距離列式求得a，r的值得答案．

解答 解：（1）設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵點A，B，C在所求的圓上，∴$\left\{\begin{array}{l}4D+4E+F+32=0\\ 5D+3E+F+34=0\\ D+E+F+2=0\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}D=-6\\ E=-4\\ F=8\end{array}\right.$．
故所求圓的方程為x²+y²-6x-4y+8=0；
（2）設(shè)所求圓的圓心為（a，0），半徑為r（r＞0），則圓的方程為（x-a）²+y²=r²，
則由題設(shè)知：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{|{4a+5}|}}{5}=r\\ \frac{{|{3a-5}|}}{5}=r\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{r=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-10}\\{r=7}\end{array}\right.$．
∴所求圓的方程為x²+y²=1，或（x+10）²+y²=49．

點評 本題考查圓的一般式方程，訓(xùn)練了待定系數(shù)法，是中檔題．