Question

13．已知圓M：4x²+4y²+8x+16y-5=0直線l：x+y-1=0，△ABC的頂點A在直線l上，頂點B，C都在圓M上，且邊AB過圓心M，∠BAC=45°，則點A橫坐標(biāo)的最大值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)A（a，1-a），①當(dāng)a≠1時，把∠BAC看作AB到AC的角，又點C在圓M，由圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，求出a的范圍；②當(dāng)a=1時，則A（-1，0）與直線x=1成45°角的直線有x-y+1=0，或x+y-1=0，判斷這樣點C不在圓M上成立．

解答 解：圓M：4x²+4y²+8x+16y-5=0方程可化為（x+1）²+（y+2）²=（$\frac{5}{2}$）²，
設(shè)A點的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為1-a；
①當(dāng)a≠1時，k_AB=$\frac{3-a}{a+1}$，設(shè)AC的斜率為k，把∠BAC看作AB到AC的角，則可得k=$\frac{2}{a-1}$，
直線AC的方程為y-（1-a）=$\frac{2}{a-1}$（x-a）
即2x-（a-1）y-a²-1=0，
又點C在圓M上，所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，即$\frac{|-2+2a-2-{a}^{2}-1|}{\sqrt{4+（a-1）^{2}}}$≤$\frac{5}{2}$，
化簡得4a²-8a-5≤0，解得-2≤a≤$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)a=1時，則A（-1，0）與直線x=-1成45°角的直線為x-y+1=0，或x+y+1=0
M到x-y+1=0的距離d=$\frac{|-1+2+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＞$\frac{5}{2}$，這樣點C不在圓M上，
同理x+y+1=0，顯然也不滿足條件，
綜上：A點的橫坐標(biāo)范圍為-2≤a≤$\frac{5}{2}$，
∴點A橫坐標(biāo)的最大值為$\frac{5}{2}$．
故選：A．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及方程的應(yīng)用，考查直線中的到角公式，點到直線的距離，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．