Question

4．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+2）}}{4}$（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=100-3ⁿ•a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求通項(xiàng)；
（Ⅱ）求得b_n=100-3ⁿ•a_n，設(shè)${C_n}=2n•{3^n}$，${C_n}=2n•{3^n}$的前n項(xiàng)和${S_n}^'$，運(yùn)用錯(cuò)位相減法可得，再討論當(dāng)1≤n≤2，當(dāng)n≥3，即可得到所求數(shù)列的和．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{{{a_n}（{a_n}+2）}}{4}（n∈N*）$，
n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}{4}$，解得a₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，n用n-1代，可得S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+2）}{4}$，
兩式相減得${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=2（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
因?yàn)閍_n正項(xiàng)數(shù)列，可得${a_n}^{\;}-{a_{n-1}}^{\;}=2（n≥2）$，
則a_n為等差數(shù)列，得a_n=2n．     
（Ⅱ）|b_n|=|100-3ⁿ•a_n|=|100-2n•3ⁿ|=$\left\{\begin{array}{l}{100-2n•{3}^{n}，1≤n≤2}\\{2n•{3}^{n}-100，n≥3}\end{array}\right.$，
設(shè)${C_n}=2n•{3^n}$，${C_n}=2n•{3^n}$的前n項(xiàng)和${S_n}^'$，
S_n'=2•3+4•3²+…+2n•3ⁿ，3S_n'=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹，
$⇒{S_n}^'=（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}+\frac{3}{2}$． 
當(dāng)1≤n≤2，S_n=$-（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}+100n-\frac{3}{2}$；
當(dāng)n≥3，S_n=$（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}-100n+\frac{3}{2}$+316=$（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}-100n+317\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和求和，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，以及分類討論思想方法，屬于中檔題．