Question

(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足，且

（1）求{}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{}滿足，并記為{}的前n項(xiàng)和，

求證：.  

Answer 1

（I）解：由，解得或，由假設(shè)，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，

故的通項(xiàng)為．

（II）證法一：由可解得；

從而．

因此．

令，則．

因，故．

特別地，從而．

即．

證法二：同證法一求得及，

由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時(shí)，不等式成立．

由此不等式有

．

證法三：同證法一求得及．

令，．

因．因此．

從而

．

證法四：同證法一求得及．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

當(dāng)時(shí)，，，

因此，結(jié)論成立．

假設(shè)結(jié)論當(dāng)時(shí)成立，即．

則當(dāng)時(shí)，

因．故．

從而．這就是說，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立．

綜上對(duì)任何成立．

解析:

（I）解：由，解得或，由假設(shè)，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，

故的通項(xiàng)為．

（II）證法一：由可解得；

從而．

因此．

令，則．

因，故．

特別地，從而．

即．

證法二：同證法一求得及，

由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時(shí)，不等式成立．

由此不等式有

．

證法三：同證法一求得及．

令，．

因．因此．

從而

．

證法四：同證法一求得及．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

當(dāng)時(shí)，，，

因此，結(jié)論成立．

假設(shè)結(jié)論當(dāng)時(shí)成立，即．

則當(dāng)時(shí)，

因．故．

從而．這就是說，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立．

綜上對(duì)任何成立．