Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+

2

x2

+

1

x3

．
（1）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的極值點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0與小于0，判斷好的單調(diào)性，求出從而求極值及單調(diào)區(qū)間；
（2）求g′（x），通過討論a的值，導(dǎo)數(shù)分子的函數(shù)值的符號(hào)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)求解即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-

(x+1)(x+3)

x4

．f′（x）＞0，-3＜x＜-1，f′（x）＜0，x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	Φ	極小值 - 4 27	↑	極大值0	↓	-2

∴最大值為0，最小值為-2．
（2）g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

．設(shè)u=x²+4x+3a．△=16-12a，
當(dāng)a≥

4

3

時(shí)，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)0＜a＜

4

3

時(shí)，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0．
減區(qū)間：（-∞，x₁），（x₂，0），（0，+∞），增區(qū)間：（x₁，x₂）．∴有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂．
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=

1

x

+

2

x2

，g′（x）=-

x+4

x3

．
減區(qū)間：（-∞，-4），（0，+∞），增區(qū)間：（-4，0）．∴有一個(gè)極值點(diǎn)x=-4．
綜上所述：a=0時(shí)，∴有一個(gè)極值點(diǎn)x=-4；0＜a＜

4

3

時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)x=-2±

4-3a

；a≥

4

3

時(shí)沒有極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性，一般有解求參數(shù)問題常常將參數(shù)進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化成研究已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．