Question

7．M是橢圓$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，則∠F₁MF₂的最大值為π-arccos$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，由橢圓中焦點(diǎn)三角形中，焦距所對角最大，可得∠F₁MF₂最大，此時(shí)M為短軸端點(diǎn)．再由余弦定理，計(jì)算即可得到所求最大角．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$的a=3，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由橢圓中焦點(diǎn)三角形中，焦距所對角最大，
可得∠F₁MF₂最大，此時(shí)M為短軸端點(diǎn)．
則cos∠F₁MF₂=$\frac{|M{F}_{1}{|}^{2}+|M{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$
=$\frac{9+9-4×8}{2×9×9}$=-$\frac{7}{9}$，
可得∠F₁MF₂的最大值為π-arccos$\frac{7}{9}$．
故答案為：π-arccos$\frac{7}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意最大角原理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．