Question

（2009•上海）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一組對(duì)角線長(zhǎng)為a_n的正方形A_nB_nC_nD_n（n=1，2，…），其對(duì)角線B_nD_n依次放置在x軸上（相鄰頂點(diǎn)重合）．設(shè){a_n}是首項(xiàng)為a，公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（d，0）．
（1）當(dāng)a=8，d=4時(shí)，證明：頂點(diǎn)A₁、A₂、A₃不在同一條直線上；
（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2x上；
（3）為使所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，求a與d之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）求出A₁A₂、A₁A₃的斜率，利用斜率不相等，即可得到結(jié)論；
（2）確定頂點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；
（3）頂點(diǎn)A_n的橫、縱坐標(biāo)，消去n-1，利用所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，即可求a與d之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式．

解答：（1）證明：由題意可知，A₁（8，4），A₂（18，6），A₃（32，8），
∴kA1A2=

6-4

18-8

=

1

5

，kA1A3=

8-6

32-18

=

1

7

．
∵kA1A2≠kA1A3，
∴頂點(diǎn)A₁、A₂、A₃不在同一條直線上；
（2）證明：由題意可知，頂點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)xn=d+a1+a2+…+an-1+

1

2

an=2（n+1）²，
頂點(diǎn)A_n的縱坐標(biāo)yn=

1

2

an=2(n+1)．
∵對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)A_n（x_n，y_n）的坐標(biāo)滿足方程y²=2x，
∴所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2x上．
（3）解：由題意可知，頂點(diǎn)A_n的橫、縱坐標(biāo)分別是xn=d+

1

2

a+

1

2

(n-1)2d，yn=

1

2

[a+(n-1)d]
消去n-1，可得xn=

2

d

yn2+d+

a(d-a)

2d

為使得所有頂點(diǎn)A_n均落在拋物線y²=2px（p＞0）上，則有

d 2 =2p d+ a(d-a) 2d =0

解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：a=2d．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線與方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．