Question

已知函數(shù)f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），a∈R
（1）討論函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，-

1

2

]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域（-∞，0），再求導(dǎo)f′（x），從而討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）討論a的取值，從而利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求解零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（2a²+1）ln（-x）+a（2x-1），
∴-x＞0，即x＜0，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）；
對(duì)f（x）求導(dǎo)，得f′（x）=

2a2+1

-x

•（-1）+2a=

2a2+1

x

+2a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

2a2+1

x

+2a=

2ax+2a2+1

x

，
∴當(dāng)x∈（-∞，-

2a2+1

2a

）時(shí)，f′（x）＞0，
x∈（-

2a2+1

2a

，0）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-

2a2+1

2a

）上是單調(diào)增函數(shù)，在（-

2a2+1

2a

，0）上單調(diào)減函數(shù)；
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ln（-x），
令ln（-x）=0，解得x=-1，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
∵

2a2+1

2a

-1=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

2a

＞0，
∴[-1，-

1

2

]⊆（-

2a2+1

2a

，0），
即f（x）在[-1，-

1

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，
又∵f（-1）=-3a＜0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上沒有零點(diǎn)；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[-1，-

1

2

]上單調(diào)遞減，
又∵f（-1）=-3a＞0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
∴f（x）在[-1，-

1

2

]上有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上，a≤0時(shí)，f（x）在[-1，-

1

2

]有一個(gè)零點(diǎn)，
a＞0時(shí)，f（x）在[-1，-

1

2

]上無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的定義域以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．