Question

菱形ABCD的邊長為3，AC與BD交于O，且∠BAD=60°．將菱形ABCD沿對角線AC折起得到三棱錐B-ADC（如圖），點M是棱BC的中點，DM=

3 2

2

．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅱ）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明OD⊥OM．OD⊥AC．OM∩AC=O，證明OD⊥平面ABC，然后證明平面ABC⊥平面MDO．
（Ⅱ）判斷OD為三棱錐D-ABC的高，求出△ABM，然后求解三棱錐的體積．

解答： （Ⅰ）證明：由題意，OM=OD=

3

2

，
因為DM=

3 2

2

，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（3分）
又因為菱形ABCD，所以OD⊥AC．
因為OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，
因為OD?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅱ）解：三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．
由（Ⅰ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=

3

2

為三棱錐D-ABM的高． …（8分）
△ABM的面積為

1

2

×3×

3

2

×

3

2

=

9 3

8

，…（10分）
所求體積等于

1

3

×

9 3

8

×

3

2

=

9 3

16

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，考查基本知識的靈活運用，邏輯推理能力與計算能力．