解答題

長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)

(1)

求證：直線平面；

(2)

求三棱錐的體積；

(3)

求二面角的平面角的余弦值．

答案：
解析：

(1)

解：依題意：，，…………………………2分

則平面．……………………………3分

(2)

解：…………………3分(寫出公式得2分，計算1分)

(3)

　　方法一：向量法

以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(1，0，0)，A1(1，0，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，1)

∴………………………………5分

設(shè)平面AD1E的法向量為

，即

令，則………………………………………………7分

又是平面AA1D的法向量，則…………………………8分

，………………………10分

而二面角為銳二面角，故其余弦值為…………………12分

　　方法二：傳統(tǒng)法(供參考)

取的中點(diǎn)，連，則、，

所以平面．過在平面

中作，交于，連，則，

所以為二面角的平面角

在中，

所以


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(3)

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