Question

某小區(qū)要建一座八邊形的休閑公園，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的舉行ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m²的十字型地域，計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/m²，在四個相同的矩形上（途中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為210元/m²，再在四個角上鋪草坪，造價為80元/m²．受地域影響，AD的長最多能達到2

3

m，其余的邊長沒有限制．
（1）設(shè)總造價為S元，AD的長為xm，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當x取何值時，S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由題意先求出邊長AM，從而寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用基本不等式求最值，注意等號是否成立．

解答： 解：（1）設(shè)AM=z，則4zx+x²=200，
則z=

200-x2

4x

；
則S=4200x²+210×（200-x²）+80×2×

200-x2

4x

×

200-x2

4x

=4000（x²+

100

x2

）+38000，（0＜x≤2

3

）；
（2）∵x²+

100

x2

≥20，
（當且僅當x²=

100

x2

，即x=

10

時，等號成立）
∴當x=

10

m時，S最小，
最小值為4000×20+38000=118000（元）．

點評：本題考查了實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力及基本不等式的應用，屬于中檔題．