Question

已知F₁、F₂為雙曲線的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)．PF₂的平方比PF₁的最小值為8a則離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先利用雙曲線的定義求出關(guān)系式，進(jìn)一步利用均值不等式建立關(guān)系式，

|PF1|2

|PF2|

=

(2a+m)2

m

=

4a2

m

+4a+m≥8a，最后求出結(jié)果．

解答： 解：設(shè)|PF₂|=m，（m≥c-a）
則：根據(jù)雙曲線的定義：|PF₁|=2a+m，
則：

|PF1|2

|PF2|

=

(2a+m)2

m

=

4a2

m

+4a+m≥8a
當(dāng)且僅當(dāng)m=2a時(shí)成立．
所以：c-a≤2a
即解得：1＜e≤3
故答案為：1＜e≤3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：雙曲線的定義的應(yīng)用．雙曲線的離心率，均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題型．